1 基本概念准备

1.1 扇形计算公式

【统计学习方法】高斯分布公式推导

1.2 二重积分用极坐标表示

【统计学习方法】高斯分布公式推导

【统计学习方法】高斯分布公式推导  (略去高阶无穷小)

所以 【统计学习方法】高斯分布公式推导

1.3 一阶矩和二阶矩

一阶矩就是期望值,换句话说就是平均数(离散随机变量很好理解,连续的可以类比一下)。举例:xy坐标系中,x取大于零的整数,y1, y2, ...,yn 对应x=1, 2,..., n的值,现在我要对y求期望,就是所有y累加除以n,也就是y的均值。

此时y的均值我可以在坐标系中画一条线,我会发现所有的点都在这条线的两边。如果是中心矩我就会用每个值减去均值z=yn-y均作为一个新的序列z1, z2, ..., zn,再对z求期望,这时我会发现均值为零(即在坐标轴y上)。一阶矩只有一阶非中心矩,因为一阶中心矩永远等于零。

二阶(非中心)矩就是对变量的平方求期望,二阶中心矩就是对随机变量与均值(期望)的差的平方求期望。为什么要用平方,因为如果序列中有负数就会产生较大波动,而平方运算就好像对序列添加了绝对值,这样更能体现偏离均值的范围。

2 高斯分布公式

2.1  高斯概率密度函数的的积分

令 【统计学习方法】高斯分布公式推导

【统计学习方法】高斯分布公式推导

用极坐标表示:

【统计学习方法】高斯分布公式推导

则:

【统计学习方法】高斯分布公式推导

 

【统计学习方法】高斯分布公式推导

 

所以:

【统计学习方法】高斯分布公式推导

 

2.2 高斯分布的期望

【统计学习方法】高斯分布公式推导

【统计学习方法】高斯分布公式推导

则:

【统计学习方法】高斯分布公式推导

这里【统计学习方法】高斯分布公式推导为奇函数,所以积分结果为0

所以:

【统计学习方法】高斯分布公式推导

 

 

这里

参考:

高斯分布期望的推导

高斯分布归一化、期望、二阶矩、方差推导证明

 

 

 

 

 

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