高斯分布期望的推导

逆高斯分布是一种连续概率分布，也被称为高斯逆变换或者高斯反函数。它的概率密度函数可以表示为： f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) 其中，μ是均值，σ^2是方差。 逆高斯分布的矩母函数推导如下： 首先，我们定义逆高斯分布的矩母函数为M(t)，即： M(t) = E[e^(tx)] 其中，E[ ]表示期望运算。 我们可以将逆高斯分布的概率密度函数代入到矩母函数中，得到： M(t) = ∫[(-∞)到(+∞)] e^(tx) * f(x) dx 将概率密度函数代入后，可以得到： M(t) = (1/√(2πσ^2)) * ∫[(-∞)到(+∞)] e^(tx) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) dx 接下来，我们对上式进行化简。 首先，我们可以将指数项e^(tx)和e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))合并，并利用指数函数的性质进行变换，得到： M(t) = (1/√(2πσ^2)) * ∫[(-∞)到(+∞)] exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2) + tx) dx 接下来，我们将指数项进行展开，并利用高斯函数的性质进行变换，得到： M(t) = (1/√(2πσ^2)) * ∫[(-∞)到(+∞)] exp(-(x^2 - 2μx + μ^2 - 2σ^2tx + t^2σ^2x^2) / (2σ^2)) dx 继续化简，可以得到： M(t) = (1/√(2πσ^2)) * ∫[(-∞)到(+∞)] exp(-((1 - t^2σ^2)x^2 - 2(μ + σ^2t)x + μ^2) / (2σ^2)) dx 接下来，我们可以将指数项中的二次项和一次项进行配方，得到： M(t) = (1/√(2πσ^2)) * ∫[(-∞)到(+∞)] exp(-((x - (μ + σ^2t)/(1 - t^2σ^2))^2 - ((μ + σ^2t)/(1 - t^2σ^2))^2 + μ^2) / (2σ^2)) dx 继续化简，可以得到： M(t) = (1/√(2πσ^2)) * exp(((μ + σ^2t)/(1 - (μ + σ^2t)/(1 - t^2σ^2))^2) / (2σ^2)) dx 最后，我们可以利用高斯分布的性质，将上式中的积分项化简为1，得到： M(t) = (1/√(2πσ^2)) * exp(((μ + σ^2t)/(1 - t^2σ^2))^2 - μ^2 / (2σ^2)) 这就是逆高斯分布的矩母函数推导的结果。